Calcul Intégral : Les Primitives Démystifiées en Terminale Spé

📚 Le cours — Calcul intégral — Primitives

Imagine la dérivation comme une opération qui prend une fonction pour en donner une nouvelle : sa dérivée. Les primitives, c'est l'opération inverse ! On cherche une fonction F telle que sa dérivée F' soit égale à la fonction de départ f. On dit alors que F est une primitive de f. Par exemple, si f(x) = 2x, alors F(x) = x² est une primitive, car (x²)' = 2x. Mais attention, F(x) = x² + 3 est aussi une primitive, car (x² + 3)' = 2x. C'est pourquoi on ajoute toujours une constante 'C' lorsqu'on écrit 'les primitives' d'une fonction : F(x) + C. Comprendre les primitives est essentiel, non seulement pour le calcul d'aires avec les intégrales définies, mais aussi pour de nombreuses applications en physique, économie ou probabilités. Il existe des règles de calcul pour les primitives des fonctions usuelles (polynômes, exponentielles, trigonométriques) qu'il est crucial de connaître par cœur. C'est en quelque sorte la 'remontée' d'une pente, alors que la dérivée était la 'descente' !

Exemple 1

Trouvez l'ensemble des primitives de la fonction f(x) = 4x³ - 6x + 7.

On utilise la propriété de linéarité : la primitive d'une somme est la somme des primitives.
On applique la formule pour x^n : une primitive de x^n est (x^(n+1))/(n+1).
On n'oublie pas la constante d'intégration + C.

✅ F(x) = x⁴ - 3x² + 7x + C, où C est une constante réelle.

Exemple 2

Déterminez une primitive G de la fonction g(x) = e^(5x) + sin(2x).

Pour e^(ax), une primitive est (1/a)e^(ax).
Pour sin(ax), une primitive est -(1/a)cos(ax).
On ne demande 'une' primitive, donc on peut choisir C=0.

✅ G(x) = (1/5)e^(5x) - (1/2)cos(2x).

🎯 Testez-vous

Quelle est une primitive de la fonction h(x) = cos(x) sur R ?

🔥 Exercices d'entraînement

Déterminez une primitive de f(x) = (2x - 3) * exp(x² - 3x + 1) sur R. Indice : pensez à la forme u'e^u...

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❓ Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une primitive et une intégrale ?

Une primitive est une fonction F dont la dérivée est la fonction f donnée (F'=f). L'intégrale (définie) est un nombre qui représente l'aire sous la courbe de f entre deux bornes a et b, calculée grâce à une primitive : ∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a).

Comment savoir si ma primitive est juste ?

Le moyen le plus simple et le plus sûr est de dériver la primitive que tu as trouvée. Si le résultat est bien la fonction de départ f(x), alors ta primitive est correcte (à la constante C près) !