mathe📚 Le cours — Combinatoire et dénombrement
La combinatoire et le dénombrement sont des branches des mathématiques qui étudient les différentes manières d'organiser, de choisir ou de disposer des éléments. En Terminale Spé, tu vas apprendre à distinguer plusieurs situations clés. Premièrement, les **permutations** : combien de façons de ranger n objets distincts ? La réponse est n! (n factorielle). Par exemple, 3 objets peuvent être rangés de 3! = 6 façons. Deuxièmement, les **arrangements** : il s'agit de choisir k objets parmi n, *avec un ordre*. Le nombre d'arrangements est noté A(n, k) = n! / (n-k)!. L'ordre compte ! Pense à un podium. Troisièmement, les **combinaisons** : ici, on choisit k objets parmi n, mais *sans ordre*. C'est la principale différence avec les arrangements. Le nombre de combinaisons est noté C(n, k) ou "n parmi k", et sa formule est C(n, k) = n! / (k!(n-k)!). Il est crucial de bien identifier si l'ordre des éléments est important ou non, et si les répétitions sont autorisées ou non, pour choisir la bonne formule.
- Identifier la situation : Il s'agit de choisir 3 personnes parmi 10, et l'ordre est important (être président n'est pas la même chose qu'être vice-président).
- Choisir la formule : Puisque l'ordre compte, on utilise les arrangements A(n, k) avec n=10 et k=3.
- Appliquer la formule : A(10, 3) = 10! / (10-3)! = 10! / 7! = 10 * 9 * 8.
- Identifier la situation : Il s'agit de choisir 3 garnitures parmi 8. L'ordre de choix des garnitures n'importe pas (tomates, olives, champignons c'est la même pizza que olives, champignons, tomates).
- Choisir la formule : Puisque l'ordre ne compte pas, on utilise les combinaisons C(n, k) avec n=8 et k=3. C(8, 3) = 8! / (3! * (8-3)!) = 8! / (3! * 5!).
- Calculer : C(8, 3) = (8 * 7 * 6) / (3 * 2 * 1) = 8 * 7 = 56.
🔥 Exercices d'entraînement
Dans une classe de 30 élèves (18 filles et 12 garçons), on doit former un comité de 5 élèves composé d'au moins 2 filles. Combien de comités différents peut-on former ?
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❓ Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un arrangement et une combinaison ?
La principale différence réside dans l'importance de l'ordre. Dans un arrangement, l'ordre des éléments choisis compte (ex: podium 1er, 2ème, 3ème). Dans une combinaison, l'ordre ne compte pas (ex: un groupe de personnes).
Quand utilise-t-on la factorielle (n!) ?
La factorielle n! est utilisée pour calculer le nombre de permutations d'un ensemble de n objets distincts, c'est-à-dire le nombre de façons de les ranger ou de les ordonner.