Maîtriser la Convexité en Terminale Spé : Analyse de Fonctions

📚 Le cours — Convexité

La convexité est une propriété fondamentale en analyse de fonctions qui décrit la forme d'une courbe. Intuitivement, une fonction est convexe si sa courbe 'sourit' ou si elle est 'creuse vers le haut' : tous les points du segment reliant deux points de la courbe sont situés au-dessus ou sur la courbe. Au contraire, une fonction est concave si sa courbe 'fait la moue' ou est 'bombée vers le haut' : tous les points du segment reliant deux points de la courbe sont situés en dessous ou sur la courbe. Mathématiquement, pour une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I, la convexité est directement liée au signe de sa dérivée seconde f''. Si f''(x) >= 0 sur I, f est convexe sur I. Si f''(x) <= 0 sur I, f est concave sur I. Les points où la fonction change de convexité sont appelés points d'inflexion ; en ces points, f'' change de signe. Comprendre la convexité permet de mieux saisir le comportement global d'une fonction, ses variations et la position de ses tangentes.

Exemple 1

Étudier la convexité de la fonction f définie par f(x) = x³ - 3x² + 2 sur R.

Calculer la dérivée première f'(x).
Calculer la dérivée seconde f''(x).
Étudier le signe de f''(x) pour déterminer les intervalles de convexité et de concavité.

✅ 1. f'(x) = 3x² - 6x 2. f''(x) = 6x - 6 3. Étude du signe de f''(x) : f''(x) >= 0 <=> 6x - 6 >= 0 <=> 6x >= 6 <=> x >= 1. Donc f est convexe sur [1; +infini[. f''(x) <= 0 <=> 6x - 6 <= 0 <=> 6x <= 6 <=> x <= 1. Donc f est concave sur ]-infini; 1]. La fonction change de convexité en x=1, donc le point d'abscisse 1 est un point d'inflexion.

Exemple 2

Soit g(x) = x * e^(-x). Déterminer l'intervalle où g est convexe.

Calculer g'(x) et g''(x).
Étudier le signe de g''(x).

✅ 1. g'(x) = 1 * e^(-x) + x * (-e^(-x)) = e^(-x)(1 - x) g''(x) = (-e^(-x))(1 - x) + e^(-x)(-1) = e^(-x)(-1 + x - 1) = e^(-x)(x - 2) 2. Comme e^(-x) > 0 pour tout x, le signe de g''(x) est celui de (x - 2). g''(x) >= 0 <=> x - 2 >= 0 <=> x >= 2. Donc g est convexe sur [2; +infini[.

🎯 Testez-vous

Pour une fonction f deux fois dérivable, si f''(x) > 0 sur un intervalle I, alors f est...

🔥 Exercices d'entraînement

On considère la fonction f(x) = ln(x² + 1). Déterminer les abscisses des points d'inflexion de f. Vous devrez calculer la dérivée première et seconde, puis résoudre une équation complexe...

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Exercice de brevet / bac...

Correction étape par étape...

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❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction est convexe ou concave sans calculer la dérivée seconde ?

Intuitivement, une fonction est convexe si le segment reliant deux points quelconques de sa courbe est au-dessus (ou sur) la courbe. Elle est concave si le segment est en dessous (ou sur) la courbe. On peut aussi regarder le sens de variation de la dérivée première : si f' est croissante, f est convexe ; si f' est décroissante, f est concave.

C'est quoi un point d'inflexion ?

Un point d'inflexion est un point de la courbe où la fonction change de convexité, c'est-à-dire qu'elle passe de convexe à concave, ou de concave à convexe. Au niveau de la dérivée seconde, cela signifie que f''(x) s'annule et change de signe en ce point.