Espérance et Variance : Le Cœur des Probabilités en 1ère Spé

📚 Le cours — Espérance et variance

L'espérance E(X), c'est la "moyenne" d'une variable aléatoire X. C'est la valeur qu'on s'attend à obtenir en moyenne si on répète l'expérience un très grand nombre de fois. Imagine un jeu de hasard : l'espérance te dira si le jeu est avantageux sur le long terme (gain moyen positif), défavorable (perte moyenne positive) ou équilibré. C'est un outil essentiel pour anticiper le résultat "moyen" d'un phénomène aléatoire, que ce soit un score, un gain financier ou une durée. La variance Var(X), quant à elle, mesure la dispersion des valeurs de X autour de cette espérance. Autrement dit, elle indique à quel point les résultats possibles sont étalés ou, au contraire, regroupés autour de la moyenne. Une faible variance signifie que les résultats sont généralement proches de l'espérance, indiquant une prédictibilité plus élevée. Une forte variance signale que les résultats peuvent être très éloignés de l'espérance, traduisant une grande incertitude ou un risque élevé. Pour une interprétation plus intuitive, on utilise souvent l'écart-type (σ(X) = √Var(X)), qui s'exprime dans la même unité que la variable aléatoire. Ensemble, espérance et variance sont les piliers pour comprendre et modéliser les phénomènes aléatoires.

Exemple 1

Un dé équilibré à six faces est lancé. Si le résultat est un 6, vous gagnez 10€. Si le résultat est un 1, vous perdez 5€. Pour tout autre résultat (2, 3, 4, 5), vous gagnez 1€. Quelle est l'espérance de gain pour ce jeu ?

1. Définir la variable aléatoire et sa loi de probabilité.
2. Appliquer la formule de l'espérance.
3. Interpréter le résultat.

✅ 1. Soit X la variable aléatoire représentant le gain. Les valeurs possibles de X sont : 10 (si 6), -5 (si 1), 1 (si 2, 3, 4, 5). Les probabilités associées sont : P(X=10) = 1/6, P(X=-5) = 1/6, P(X=1) = 4/6. 2. E(X) = 10 * (1/6) + (-5) * (1/6) + 1 * (4/6) = (10 - 5 + 4) / 6 = 9/6 = 1,5. 3. L'espérance de gain est de 1,5€. En moyenne, vous pouvez espérer gagner 1,5€ par partie.

Exemple 2

Reprenons le jeu du dé de l'exemple précédent. Calculez la variance de votre gain.

1. Calculer E(X²).
2. Appliquer la formule de la variance.

✅ 1. Pour calculer Var(X) = E(X²) - (E(X))², nous avons déjà E(X) = 1,5. Calculons E(X²) : E(X²) = (10² * 1/6) + ((-5)² * 1/6) + (1² * 4/6) E(X²) = (100 * 1/6) + (25 * 1/6) + (1 * 4/6) E(X²) = (100 + 25 + 4) / 6 = 129 / 6 = 21,5. 2. Appliquons la formule de la variance : Var(X) = E(X²) - (E(X))² = 21,5 - (1,5)² = 21,5 - 2,25 = 19,25. La variance du gain est de 19,25. L'écart-type est √19,25 ≈ 4,39€, ce qui indique une dispersion assez importante autour du gain moyen de 1,5€.

🎯 Testez-vous

Pour une variable aléatoire X, si E(X) = 5 et E(X²) = 30, quelle est sa variance ?

🔥 Exercices d'entraînement

Une entreprise produit des ampoules. La durée de vie d'une ampoule (en milliers d'heures) est modélisée par une variable aléatoire X dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant : | x_i | P(X=x_i) | |-----|----------| | 1 | 0,1 | | 2 | 0,3 | | 3 | 0,4 | | 4 | 0,2 | Calculer la durée de vie moyenne attendue d'une ampoule et l'écart-type de sa durée de vie. Que peut-on en déduire pour le contrôle qualité ?

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❓ Questions fréquentes

Pourquoi calcule-t-on la variance alors que l'espérance suffit ?

L'espérance donne la valeur moyenne, mais elle ne dit rien sur la dispersion des résultats. Deux situations peuvent avoir la même espérance mais des risques très différents. La variance (ou l'écart-type) mesure ce risque, cette dispersion, ce qui est crucial pour prendre des décisions éclairées.

Y a-t-il une autre formule pour la variance ?

Oui, la formule de définition est Var(X) = E[(X - E(X))²] = Σ (x_i - E(X))² P(X=x_i). Celle que nous avons utilisée, Var(X) = E(X²) - (E(X))², est appelée formule de König-Huygens et est souvent plus simple pour les calculs pratiques.