mathe📚 Le cours — Fonction logarithme
La fonction logarithme népérien, notée ln(x), est l'une des fonctions les plus fondamentales en Terminale Spé. Elle est définie comme la réciproque de la fonction exponentielle e^x. Concrètement, si y = ln(x), cela signifie que x = e^y. Son domaine de définition est exclusivement ]0 ; +∞[, car on ne peut calculer le logarithme que d'un nombre strictement positif. Cette condition est primordiale ! La fonction s'annule en 1, c'est-à-dire que ln(1) = 0. Ses propriétés algébriques sont des outils puissants : ln(ab) = ln(a) + ln(b), ln(a/b) = ln(a) - ln(b), et ln(a^n) = n * ln(a) pour tout a, b > 0 et n réel. Graphiquement, la fonction ln(x) est strictement croissante sur son domaine. Ses limites aux bornes sont essentielles : lim(x->0+) ln(x) = -∞ et lim(x->+∞) ln(x) = +∞. Enfin, sa dérivée est remarquablement simple : (ln(x))' = 1/x. Maîtriser ces concepts te permettra de résoudre une grande variété de problèmes.
- Identifie la forme de l'équation : ln(x) = k.
- Applique la fonction exponentielle des deux côtés de l'équation pour 'annuler' le ln : e^(ln(x)) = e^3.
- Simplifie en utilisant la propriété fondamentale e^(ln(x)) = x.
- Utilise la propriété du logarithme pour le quotient : ln(a) - ln(b) = ln(a/b).
- Applique cette propriété à l'expression donnée et simplifie le contenu du logarithme.
🔥 Exercices d'entraînement
Soit la fonction f(x) = x - ln(x^2 + 1), définie sur R. Détermine les variations de f sur son domaine et étudie ses points d'inflexion. (Indice : tu devras dériver f(x) puis f'(x) pour étudier la convexité).
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❓ Questions fréquentes
À quoi sert la fonction logarithme en dehors des maths ?
Elle est utilisée pour modéliser des phénomènes à croissance lente (échelle de Richter pour les séismes, pH en chimie, intensité sonore en décibels), pour résoudre des équations où l'inconnue est en exposant, ou encore en informatique pour l'analyse d'algorithmes.
Comment dériver une fonction avec un logarithme ?
La dérivée de ln(u(x)) est u'(x) / u(x). Par exemple, si f(x) = ln(2x+1), alors f'(x) = 2 / (2x+1). N'oublie jamais que l'argument du logarithme u(x) doit être strictement positif.