mathe📚 Le cours — Fonctions trigonométriques — sin et cos
Les fonctions trigonométriques sinus (sin) et cosinus (cos) sont fondamentales en mathématiques et en physique. Elles sont définies à partir du cercle trigonométrique, un cercle de rayon 1 centré à l'origine du repère. Pour tout angle 'x' (mesuré en radians) partant de l'axe positif des abscisses et tournant dans le sens anti-horaire, le point sur le cercle associé à cet angle aura une abscisse égale à cos(x) et une ordonnée égale à sin(x). Ces fonctions sont périodiques de période 2π, ce qui signifie que sin(x + 2π) = sin(x) et cos(x + 2π) = cos(x). Leurs valeurs sont toujours comprises entre -1 et 1. Leurs graphes, appelés sinusoïdes, sont des ondes qui se répètent à l'infini. Comprendre sin et cos est crucial pour étudier les phénomènes cycliques et les vibrations.
- Représentez le cercle trigonométrique et l'angle π/4 (soit 45°).
- Identifiez le point M sur le cercle associé à cet angle. Vous savez que pour cet angle, l'abscisse et l'ordonnée sont égales.
- Rappelez-vous la valeur connue ou utilisez le théorème de Pythagore (x² + y² = 1 avec x=y) pour trouver que l'abscisse (cos(π/4)) et l'ordonnée (sin(π/4)) sont toutes deux égales à √2/2.
- Localisez l'angle 7π/6 sur le cercle trigonométrique. Remarquez que 7π/6 = π + π/6. Cela signifie que le point associé à 7π/6 est symétrique par rapport à l'origine du point associé à π/6.
- Vous savez que cos(π/6) = √3/2 et sin(π/6) = 1/2. Par symétrie par rapport à l'origine, les coordonnées sont opposées : cos(7π/6) = -cos(π/6) et sin(7π/6) = -sin(π/6).
🔥 Exercices d'entraînement
Résolvez l'équation trigonométrique sin(x) = -1/2 sur l'intervalle [0 ; 2π[.
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❓ Questions fréquentes
Comment retenir les valeurs remarquables de sin et cos ?
Le plus simple est d'utiliser la main gauche comme mnémonique, ou de visualiser constamment le cercle trigonométrique. Apprenez par cœur les valeurs pour 0, π/6, π/4, π/3, π/2, puis déduisez les autres par symétrie par rapport aux axes ou à l'origine du cercle. La régularité des racines carrées (√0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2) aide beaucoup !
Est-ce que sin(x) et cos(x) peuvent être supérieurs à 1 ?
Non, absolument pas ! Les fonctions sin et cos sont toujours comprises entre -1 et 1 inclus, pour toutes les valeurs de x réelles. C'est une propriété fondamentale liée à leur définition sur le cercle trigonométrique de rayon 1 : l'abscisse et l'ordonnée d'un point sur ce cercle ne peuvent pas dépasser 1 en valeur absolue.