mathe📚 Le cours — Loi binomiale
La loi binomiale modélise le nombre de succès X obtenus lors de la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Chaque épreuve de Bernoulli n'a que deux issues possibles : "succès" (avec une probabilité p) ou "échec" (avec une probabilité 1-p). Pour qu'une variable aléatoire X suive une loi binomiale B(n, p), trois conditions sont essentielles : 1. Il y a un nombre fixe n de répétitions. 2. Chaque répétition est une épreuve de Bernoulli (deux issues : succès/échec). 3. Les répétitions sont indépendantes. Les paramètres n et p sont cruciaux : n est le nombre de répétitions (ou d'expériences), et p est la probabilité de succès à chaque épreuve. La formule P(X=k) donne la probabilité d'obtenir exactement k succès parmi n épreuves. Elle combine le nombre de façons d'obtenir k succès (n parmi k), la probabilité de k succès (p^k) et la probabilité de n-k échecs ((1-p)^(n-k)). Les calculatrices sont très utiles pour les calculs.
- Identifier la loi : C'est une loi binomiale B(n=5, p=0.6). On cherche P(X=3).
- Appliquer la formule : P(X=3) = C(5,3) * (0.6)^3 * (1-0.6)^(5-3).
- Calculer : C(5,3) = 10. P(X=3) = 10 * 0.216 * 0.16 = 0.3456.
- Identifier la loi et les paramètres : X suit une loi binomiale B(n=100, p=0.02). On cherche P(X ≥ 1).
- Utiliser l'événement contraire : P(X ≥ 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0).
- Calculer P(X = 0) : P(X=0) = C(100,0) * (0.02)^0 * (0.98)^100 = 1 * 1 * (0.98)^100 ≈ 0.1326.
- Finaliser : P(X ≥ 1) = 1 - 0.1326 = 0.8674.
🔥 Exercices d'entraînement
Un dé équilibré est lancé n fois. On considère qu'obtenir un 6 est un succès. Déterminer le nombre minimum de lancers n pour que la probabilité d'obtenir au moins un 6 soit supérieure à 0.9.
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❓ Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une épreuve de Bernoulli et une loi binomiale ?
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire simple n'ayant que deux issues (succès/échec) avec une probabilité fixe p. Une loi binomiale, quant à elle, décrit le nombre de succès obtenus lors de la répétition INDÉPENDANTE et IDENTIQUE de n épreuves de Bernoulli.
Comment savoir si je dois utiliser la loi binomiale ou une autre loi de probabilité ?
Utilisez la loi binomiale si vous comptez le nombre de succès dans un nombre FIXE d'épreuves indépendantes, chacune ayant seulement deux issues possibles (succès/échec) et la même probabilité de succès p. Si le nombre d'épreuves n'est pas fixe ou s'il y a plus de deux issues, une autre loi serait plus appropriée.