Probabilités Conditionnelles : Quand une Information Change Tout !

📚 Le cours — Probabilités conditionnelles

Les probabilités conditionnelles nous permettent de calculer la probabilité qu'un événement A se réalise, *sachant* qu'un autre événement B s'est déjà réalisé. On parle de 'probabilité de A sachant B', notée P(A|B). L'idée fondamentale est de restreindre l'univers des possibles à l'événement B. Au lieu de regarder toutes les issues possibles, on ne considère que celles où B est vrai. La formule clé, P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), exprime cela parfaitement : on divise la probabilité que A et B se produisent tous les deux par la probabilité de l'événement B, qui est maintenant notre nouvel ensemble de référence. C'est un outil puissant pour analyser des situations où les événements sont liés, du diagnostic médical aux stratégies de jeu, en passant par l'analyse de données. Comprendre P(A|B) est essentiel pour anticiper et prendre des décisions éclairées dans un monde incertain.

Exemple 1

Dans une classe de 30 élèves, 18 aiment les mathématiques (M) et 12 aiment le français (F). On sait que 7 élèves aiment à la fois les mathématiques et le français. Si l'on choisit un élève au hasard et qu'il aime les mathématiques, quelle est la probabilité qu'il aime aussi le français ?

Définir les événements : M (aime les maths), F (aime le français).
Identifier les probabilités connues : P(M) = 18/30 = 0.6, P(M ∩ F) = 7/30.
Appliquer la formule P(F|M) = P(M ∩ F) / P(M).

✅ P(F|M) = (7/30) / (18/30) = 7/18 ≈ 0.389. La probabilité qu'il aime le français, sachant qu'il aime les maths, est d'environ 38.9%.

Exemple 2

Une usine fabrique des pièces détachées. 5% des pièces produites sont défectueuses (D). Parmi les pièces défectueuses, 90% sont détectées par un contrôle qualité (C). Parmi les pièces non défectueuses, 2% sont erronément signalées comme défectueuses par le contrôle (C|D̅). Quelle est la probabilité qu'une pièce soit réellement défectueuse, sachant qu'elle a été signalée comme défectueuse par le contrôle ?

Écrire les probabilités données : P(D)=0.05, P(C|D)=0.90, P(C|D̅)=0.02. Calculer P(D̅)=0.95.
Calculer P(C) avec la formule des probabilités totales : P(C) = P(C|D)P(D) + P(C|D̅)P(D̅). Puis appliquer la formule de Bayes pour P(D|C) = P(C|D)P(D) / P(C).

✅ P(C) = (0.90 * 0.05) + (0.02 * 0.95) = 0.045 + 0.019 = 0.064. Donc, P(D|C) = 0.045 / 0.064 ≈ 0.703. La probabilité qu'une pièce soit défectueuse sachant qu'elle a été signalée est d'environ 70.3%.

🎯 Testez-vous

Soient A et B deux événements tels que P(A)=0.5, P(B)=0.4 et P(A ∩ B)=0.2. Que vaut P(A|B) ?

🔥 Exercices d'entraînement

Une maladie touche 1% de la population. Un test de dépistage est disponible : il est positif à 98% si la personne est malade, et positif à 5% si la personne n'est pas malade. Si une personne est testée positive, quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ?

Correction complète disponible...

Exercice de brevet / bac...

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❓ Questions fréquentes

Quelle est la différence entre P(A ∩ B) et P(A|B) ?

P(A ∩ B) est la probabilité que les deux événements A ET B se réalisent simultanément. P(A|B) est la probabilité que A se réalise SACHANT que B s'est déjà réalisé. C'est une probabilité 'restreinte' à l'univers où B est déjà vrai.

Quand doit-on utiliser un arbre de probabilité ?

L'arbre de probabilité est très utile lorsque tu as une succession d'événements ou des événements dépendants. Il permet de visualiser toutes les issues possibles et leurs probabilités, facilitant le calcul des probabilités conditionnelles et totales.