mathe📚 Le cours — Suites géométriques
Une suite géométrique est une séquence de nombres où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante fixe, appelée la raison (notée q). C'est la nature multiplicative qui les différencie des suites arithmétiques. Si u_n est un terme de la suite, alors u_{n+1} = u_n * q. Le premier terme est souvent noté u_0 ou u_1. La formule générale pour calculer n'importe quel terme u_n à partir du premier terme u_0 est : u_n = u_0 * q^n. Plus généralement, si vous connaissez un terme u_p et la raison q, vous pouvez calculer u_n avec : u_n = u_p * q^(n-p). La raison q peut être positive ou négative, supérieure ou inférieure à 1. - Si q > 1, la suite croît rapidement (ex: 2, 4, 8, 16...). - Si 0 < q < 1, la suite décroît vers 0 (ex: 100, 50, 25...). - Si q < 0, la suite alterne les signes (ex: 2, -4, 8, -16...). - Si q = 1, la suite est constante. Ces suites modélisent des phénomènes variés comme les intérêts composés ou la désintégration radioactive.
- Identifier le premier terme (u0 = 3) et la raison (q = 2).
- Appliquer la formule générale u_n = u_0 * q^n pour trouver u5.
- Effectuer le calcul : u5 = 3 * 2^5.
- Utiliser la relation u_n = u_p * q^(n-p) : u4 = u2 * q^(4-2).
- Remplacer les valeurs connues et résoudre l'équation pour q : 108 = 12 * q^2 => q^2 = 9 => q = 3 ou q = -3.
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❓ Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une suite arithmétique et géométrique ?
Dans une suite arithmétique, on ajoute une constante (la raison) pour passer d'un terme à l'autre. Dans une suite géométrique, on multiplie par une constante (la raison).
Comment trouver la raison d'une suite géométrique si je connais deux termes ?
Si vous connaissez up et un (avec n > p), utilisez la formule un = up * q^(n-p). Vous aurez q^(n-p) = un / up. Il suffira alors de prendre la racine (n-p)-ième ou de résoudre l'équation.