mathe📚 Le cours — Systèmes d'équations
Un système d'équations, en 3ème, c'est généralement un ensemble de deux équations contenant deux inconnues (souvent 'x' et 'y'). Le but est de trouver les valeurs de ces inconnues qui vérifient simultanément les deux équations. Imagine que tu cherches l'âge de deux personnes et que tu as deux indices : leur somme d'âges et leur différence d'âges. Un système d'équations permet de démêler ça ! Il existe deux méthodes principales pour les résoudre : la substitution et la combinaison (ou addition). 1. **Méthode par substitution** : On exprime une des inconnues en fonction de l'autre à partir d'une équation, puis on remplace cette expression dans la deuxième équation. Cela réduit le système à une seule équation avec une seule inconnue, facile à résoudre. 2. **Méthode par combinaison** (ou addition/soustraction) : On multiplie une ou les deux équations par un nombre pour que les coefficients d'une même inconnue deviennent opposés ou égaux. En additionnant ou soustrayant les équations membre à membre, cette inconnue s'élimine, nous laissant avec une seule équation à une inconnue.
- Étape 1 : Puisque la deuxième équation nous donne déjà x = y + 1, remplaçons 'x' par '(y + 1)' dans la première équation : (y + 1) + y = 7.
- Étape 2 : Résolvons cette nouvelle équation pour trouver 'y' : 2y + 1 = 7 => 2y = 6 => y = 3.
- Étape 3 : Maintenant que nous avons 'y = 3', utilisons la deuxième équation (x = y + 1) pour trouver 'x' : x = 3 + 1 => x = 4.
- Étape 1 : Remarque que les coefficients de 'y' sont opposés (+1y et -1y). En additionnant les deux équations membre à membre, les 'y' vont s'éliminer : (2x + y) + (x - y) = 8 + 1 => 3x = 9.
- Étape 2 : Résous l'équation obtenue pour trouver 'x' : 3x = 9 => x = 3. Ensuite, utilise cette valeur dans une des équations de départ (par exemple, la deuxième) pour trouver 'y' : 3 - y = 1 => -y = 1 - 3 => -y = -2 => y = 2.
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Dans une ferme, on élève des poulets et des lapins. On compte un total de 40 têtes et 100 pattes. Combien y a-t-il de poulets et de lapins dans cette ferme ? (N'oublie pas : un poulet a 2 pattes, un lapin en a 4 !)
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❓ Questions fréquentes
Quand doit-on utiliser la méthode par substitution ou par combinaison ?
La substitution est souvent plus simple quand une des inconnues est déjà isolée (comme x = y + 1) ou facile à isoler dans une des équations. La combinaison est très efficace quand les coefficients d'une même inconnue sont opposés ou multiples l'un de l'autre, permettant de l'éliminer facilement par addition ou soustraction des équations. En pratique, tu peux choisir la méthode qui te semble la plus rapide ou la plus simple selon le système donné.
Peut-on vérifier si ma solution est correcte ?
Oui, absolument ! Une fois que tu as trouvé tes valeurs pour x et y, remplace-les dans CHACUNE des équations de ton système de départ. Si les deux équations sont vérifiées (c'est-à-dire que les égalités sont vraies), alors ta solution est correcte. C'est une excellente habitude qui te permettra de ne plus faire d'erreurs d'étourderie !