mathe📚 Le cours — Théorème de Thalès
Le Théorème de Thalès est un outil fantastique en géométrie qui te permet de calculer des longueurs inconnues dans certaines figures. Imagine deux droites qui se coupent en un point (ce sont nos "sécantes"). Si ces deux droites sont ensuite coupées par DEUX autres droites QUI SONT PARALLÈLES entre elles, alors le Théorème de Thalès s'applique ! Il existe deux configurations principales : 1. **Le triangle emboîté** : un petit triangle "à l'intérieur" d'un plus grand, avec une base parallèle. 2. **Le papillon** : deux triangles opposés par le sommet, avec leurs bases parallèles. La condition essentielle pour l'appliquer est donc d'avoir des points alignés et des droites parallèles. Lorsque ces conditions sont remplies, Thalès nous dit que les rapports des longueurs des côtés correspondants sont ÉGAUX. C'est de la pure proportionnalité ! Par exemple, si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, et que les points A, M, B sont alignés ainsi que A, N, C, alors on aura AM/AB = AN/AC = MN/BC. C'est super pratique pour trouver une longueur si tu en connais trois autres. Toujours bien vérifier les conditions avant de te lancer !
- 1. Vérifier les conditions d'application : Les points A, M, B sont alignés. Les points A, N, C sont alignés. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Les conditions sont remplies, on peut appliquer le théorème de Thalès.
- 2. Écrire l'égalité des rapports : AM/AB = AN/AC = MN/BC.
- 3. Remplacer par les valeurs connues et résoudre : 3/9 = 2/BC. On simplifie 3/9 en 1/3. Donc, 1/3 = 2/BC. Par produit en croix, 1 * BC = 3 * 2, ce qui donne BC = 6 cm.
- 1. Vérifier les conditions d'application (configuration 'papillon') : Les points A, C, D sont alignés. Les points B, C, E sont alignés. Les droites (AB) et (DE) sont parallèles. Les conditions sont remplies, on peut appliquer le théorème de Thalès.
- 2. Écrire l'égalité des rapports : CA/CD = CB/CE = AB/DE. Remplacer par les valeurs connues et résoudre : 4/6 = 3/DE. Par produit en croix, 4 * DE = 6 * 3, ce qui donne 4 * DE = 18. Donc DE = 18 / 4 = 4.5 cm.
🔥 Exercices d'entraînement
Un architecte doit mesurer la hauteur d'un arbre (AB) sans y grimper. Il place un bâton (DE) verticalement à 5m de l'arbre. Le bâton mesure 1.5m. L'ombre du sommet de l'arbre (A) et du bâton (D) se rejoignent au même point C sur le sol. La distance du point C au pied du bâton (E) est de 2m. Calcule la hauteur de l'arbre AB.
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❓ Questions fréquentes
À quoi sert le Théorème de Thalès ?
Le Théorème de Thalès sert principalement à calculer des longueurs de segments difficiles à mesurer directement, mais aussi à prouver que des droites sont parallèles (grâce à sa réciproque). C'est un outil clé pour les problèmes de proportionnalité en géométrie.
Comment reconnaître une situation de Thalès ?
Tu dois toujours chercher deux droites sécantes qui se coupent en un point, et deux autres droites qui leur sont parallèles. Il y a deux configurations principales à reconnaître : le 'triangle emboîté' (un petit triangle dans un grand) et le 'papillon' (deux triangles opposés par le sommet).