Maîtriser le Théorème de Thalès et sa Réciproque en 3ème

📚 Le cours — Théorème de Thalès et réciproque

Le Théorème de Thalès est un outil essentiel en géométrie pour la 3ème. Il s'applique dans deux configurations principales : les "triangles emboîtés" ou la "configuration papillon". La condition cruciale est d'avoir des droites parallèles. Si tu as deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles, alors les rapports des longueurs formés par les segments sont égaux. Par exemple, si les points A, M, B sont alignés et A, N, C sont alignés, et que la droite (MN) est parallèle à (BC), alors AM/AB = AN/AC = MN/BC. Cela te permet de calculer des longueurs manquantes. La réciproque du Théorème de Thalès, elle, sert à prouver que deux droites sont parallèles. Si tu as les mêmes configurations de points et que tu constates que les rapports de longueurs (AM/AB et AN/AC) sont égaux, *et* que les points sont alignés dans le même ordre, alors tu peux en déduire que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. C'est très utile pour justifier des constructions ou des propriétés géométriques.

Exemple 1

Dans un triangle ABC, M est un point de [AB] et N est un point de [AC]. On sait que (MN) // (BC). Si AM = 3 cm, AB = 7 cm et BC = 10 cm, quelle est la longueur de MN ?

Vérifier les conditions d'application du Théorème de Thalès : points alignés (A, M, B et A, N, C) et droites parallèles ((MN) // (BC)).
Écrire l'égalité des rapports : AM/AB = AN/AC = MN/BC.
Remplacer les valeurs connues dans le rapport qui nous intéresse : 3/7 = MN/10.
Résoudre l'équation pour trouver MN.

✅ MN = (3 * 10) / 7 = 30/7 cm ≈ 4,29 cm.

Exemple 2

Soit deux droites (AB) et (CD) qui se coupent en O. On sait que OA = 5 cm, OB = 15 cm, OC = 6 cm et OD = 18 cm. Les droites (AC) et (BD) sont-elles parallèles ?

Identifier les rapports potentiels dans la configuration "papillon" : OA/OB et OC/OD. Vérifier l'alignement des points (A, O, B et C, O, D).
Calculer les rapports : OA/OB = 5/15 = 1/3 et OC/OD = 6/18 = 1/3. Les rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre.

✅ Oui, d'après la réciproque du Théorème de Thalès, les droites (AC) et (BD) sont parallèles.

🎯 Testez-vous

Pour appliquer le Théorème de Thalès afin de calculer une longueur, quelle condition est indispensable ?

🔥 Exercices d'entraînement

Dans un triangle ABC, M est sur [AB] et N sur [AC]. On sait que (MN) est parallèle à (BC). Si AM = 4 cm, AB = 10 cm, et AN = x+1, NC = 2x-2. Calcule la valeur de x.

Correction complète disponible...

Exercice de brevet / bac...

Correction étape par étape...

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❓ Questions fréquentes

À quoi sert le Théorème de Thalès ?

Le Théorème de Thalès sert principalement à calculer des longueurs de segments quand tu as des droites parallèles dans une configuration spécifique de triangles (emboîtés ou papillon).

Quelle est la différence entre le théorème et sa réciproque ?

Le théorème direct (Thalès) sert à calculer des longueurs *si* tu sais que des droites sont parallèles. La réciproque de Thalès sert à *prouver* que des droites sont parallèles *si* tu as des égalités de rapports de longueurs et que les points sont alignés dans le bon ordre.