mathe📚 Le cours — Trigonométrie — sin, cos, tan
La trigonométrie est la branche des mathématiques qui étudie les relations entre les angles et les longueurs des côtés dans un triangle rectangle. Pour chaque angle aigu d'un triangle rectangle, on peut définir trois rapports fondamentaux : le sinus (sin), le cosinus (cos) et la tangente (tan). Pour un angle aigu donné : - L'**hypoténuse** est le côté le plus long, opposé à l'angle droit. - Le **côté opposé** est le côté en face de l'angle considéré. - Le **côté adjacent** est le côté qui touche l'angle considéré, mais qui n'est pas l'hypoténuse. Les rapports sont : - **Sinus (SOH)** : Sinus = Opposé / Hypothénuse - **Cosinus (CAH)** : Cosinus = Adjacent / Hypothénuse - **Tangente (TOA)** : Tangente = Opposé / Adjacent Ce moyen mnémotechnique (SOH CAH TOA) est très utile pour se souvenir des formules ! Grâce à ta calculatrice, tu pourras trouver la valeur d'un angle si tu connais un rapport (avec sin⁻¹, cos⁻¹ ou tan⁻¹) ou la valeur d'un rapport si tu connais un angle. C'est essentiel pour résoudre de nombreux problèmes en géométrie ou même dans la vie quotidienne.
- 1. Identifier les informations : triangle ABC rectangle en B, angle A = 30°, AB = 8 cm (côté adjacent à A). On cherche AC (l'hypoténuse).
- 2. Choisir la bonne formule : On connaît le côté adjacent et on cherche l'hypoténuse. La formule qui lie ces trois éléments est le Cosinus (CAH). Donc, cos(angle) = Adjacent / Hypothénuse.
- 3. Appliquer la formule et résoudre : cos(30°) = AB / AC => cos(30°) = 8 / AC. Donc, AC = 8 / cos(30°). À l'aide de la calculatrice, cos(30°) ≈ 0,866. Ainsi, AC ≈ 8 / 0,866.
- 4. Calculer et conclure.
- 1. Identifier les informations : triangle DEF rectangle en E. Pour l'angle DFE, EF est le côté adjacent (12 cm) et DE est le côté opposé (5 cm). On cherche l'angle DFE.
- 2. Choisir la bonne formule : On connaît le côté opposé et le côté adjacent. La formule qui lie ces trois éléments est la Tangente (TOA). Donc, tan(angle) = Opposé / Adjacent.
- 3. Appliquer la formule et résoudre : tan(DFE) = DE / EF => tan(DFE) = 5 / 12.
- 4. Utiliser la fonction inverse : Pour trouver l'angle, on utilise la fonction arc tangente (tan⁻¹) : DFE = tan⁻¹(5 / 12).
🔥 Exercices d'entraînement
Une montgolfière s'élève verticalement. Vue d'un point au sol situé à 200 mètres de son point de décollage, son angle d'élévation est de 40°. Quelle est l'altitude de la montgolfière à ce moment-là ? Si l'angle d'élévation passe à 60° quand elle s'élève encore, de combien de mètres supplémentaires s'est-elle élevée ? (Arrondir au mètre près)
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❓ Questions fréquentes
C'est quoi ce 'SOH CAH TOA' dont tout le monde parle ?
SOH CAH TOA est un moyen mnémotechnique très pratique pour retenir les définitions des trois rapports trigonométriques : - SOH : Sinus = Opposé / Hypothénuse - CAH : Cosinus = Adjacent / Hypothénuse - TOA : Tangente = Opposé / Adjacent Il suffit de retenir ces trois lettres pour chaque rapport !
Comment savoir quand utiliser sin, cos ou tan ?
Le choix dépend des côtés que tu connais et de celui que tu cherches, par rapport à l'angle aigu considéré : - Utilise le **Sinus** si tu connais ou cherches le côté **Opposé** et l'**Hypothénuse**. - Utilise le **Cosinus** si tu connais ou cherches le côté **Adjacent** et l'**Hypothénuse**. - Utilise la **Tangente** si tu connais ou cherches le côté **Opposé** et le côté **Adjacent**. Réfléchis toujours aux deux côtés impliqués dans ton problème pour choisir le bon rapport !