mathe📚 Le cours — Trinôme du second degré
Un trinôme du second degré est une expression polynomiale de la forme ax² + bx + c, où 'a', 'b', et 'c' sont des coefficients réels, avec 'a' toujours différent de zéro. C'est la base des fonctions quadratiques, dont la représentation graphique est une parabole. Comprendre un trinôme, c'est savoir identifier ses coefficients, puis calculer son discriminant (noté Δ), qui est défini par la formule Δ = b² - 4ac. Le discriminant est crucial car il nous indique le nombre de racines réelles (les valeurs de x pour lesquelles le trinôme est nul) : si Δ > 0, le trinôme a deux racines réelles distinctes ; si Δ = 0, il a une seule racine réelle (dite racine double) ; et si Δ < 0, il n'a aucune racine réelle. La connaissance des racines permet de factoriser le trinôme et d'étudier son signe, des compétences essentielles pour résoudre des inéquations du second degré et analyser des situations concrètes.
- La forme générale d'un trinôme est ax² + bx + c.
- Par comparaison avec P(x) = 3x² - 5x + 2, nous identifions : a = 3, b = -5, c = 2.
- Appliquez la formule du discriminant : Δ = b² - 4ac.
- Calculez : Δ = (-5)² - 4 * 3 * 2 = 25 - 24.
- Identifiez a=1, b=-4, c=4. Calculez le discriminant : Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * 4 = 16 - 16 = 0.
- Puisque Δ = 0, il y a une racine double x₀ = -b / (2a). Calculez : x₀ = -(-4) / (2 * 1) = 4 / 2 = 2.
- La factorisation d'un trinôme avec une racine double est de la forme a(x - x₀)².
🔥 Exercices d'entraînement
Déterminez les valeurs du paramètre réel m pour lesquelles l'équation (m+1)x² - 2mx + m-2 = 0 admet exactement une solution réelle.
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❓ Questions fréquentes
Pourquoi dit-on 'trinôme' et pas 'polynôme' ?
Un trinôme est un type spécifique de polynôme : il est composé de trois termes. Le trinôme du second degré a trois termes : un en x², un en x, et un terme constant.
À quoi sert le discriminant Δ ?
Le discriminant Δ = b² - 4ac est essentiel pour connaître le nombre de racines réelles d'un trinôme : deux si Δ>0, une (double) si Δ=0, et aucune si Δ<0. Il est également utilisé dans les formules pour trouver ces racines.