mathe📚 Le cours — Valeur absolue et inégalités
La valeur absolue d'un nombre, notée |x|, représente sa distance par rapport à zéro sur la droite numérique. Peu importe si le nombre est positif ou négatif, la distance est toujours positive. Par exemple, |5| = 5 et |-5| = 5. Lorsque tu rencontres des inégalités avec des valeurs absolues, il faut penser en termes de distance. 1. **|x| < k** (où k est un nombre positif) : Cela signifie que la distance de x à zéro est inférieure à k. x est donc situé entre -k et k. L'ensemble des solutions est ]-k ; k[. 2. **|x| > k** (où k est un nombre positif) : Cela signifie que la distance de x à zéro est supérieure à k. x est donc situé avant -k ou après k. L'ensemble des solutions est ]-∞ ; -k[ U ]k ; +∞[. Ces règles s'appliquent aussi quand l'expression est plus complexe, comme |x - a|. Dans ce cas, |x - a| représente la distance entre x et le nombre 'a'. Si |x - a| < k, alors x est à une distance de 'a' inférieure à k, ce qui signifie que a - k < x < a + k. Inversement, si |x - a| > k, alors x est à une distance de 'a' supérieure à k, donc x < a - k ou x > a + k. Visualiser ces situations sur une droite numérique t'aidera énormément !
- Interpréter la valeur absolue comme une distance : |x| signifie la distance entre x et 0.
- Traduire l'inégalité : 'La distance de x à 0 est strictement inférieure à 3'. Sur la droite numérique, cela signifie que x est entre -3 et 3.
- Écrire l'ensemble solution sous forme d'intervalle.
- Interpréter l'inégalité en termes de distance : |x - 2| signifie la distance entre x et le nombre 2. L'inégalité signifie donc 'La distance de x à 2 est supérieure ou égale à 5'.
- Traduire cela en deux inégalités distinctes sans valeur absolue : Soit x - 2 ≤ -5 (x est à gauche de 2 et à au moins 5 unités), soit x - 2 ≥ 5 (x est à droite de 2 et à au moins 5 unités).
- Résoudre chaque inégalité : Pour la première, x ≤ -5 + 2, donc x ≤ -3. Pour la seconde, x ≥ 5 + 2, donc x ≥ 7.
- Combiner les solutions : L'ensemble des solutions est l'union des deux intervalles trouvés.
🔥 Exercices d'entraînement
Pour les plus audacieux : déterminer l'ensemble des solutions de l'inégalité |2x - 3| < x + 1. (Attention : il faudra discuter selon le signe de x+1 !)
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❓ Questions fréquentes
À quoi sert la valeur absolue dans la vie réelle ?
La valeur absolue est utile pour mesurer des écarts ou des distances sans se soucier de la direction. Par exemple, l'écart de température entre deux valeurs, la marge d'erreur dans des mesures scientifiques, ou la distance entre deux points sur une carte ou dans l'espace.
Comment résoudre |A(x)| = k ou |A(x)| = |B(x)| ?
Pour une équation du type |A(x)| = k (où k est un nombre réel positif ou nul), cela signifie que A(x) = k ou A(x) = -k. Tu dois résoudre ces deux équations séparément. Pour une équation du type |A(x)| = |B(x)|, cela signifie que A(x) = B(x) ou A(x) = -B(x). Là encore, tu résous les deux équations distinctes.