Maîtrisez les Variables Aléatoires Discrètes en 1ère Spé

📚 Le cours — Variables aléatoires discrètes

Une variable aléatoire discrète (VAD) est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. Le terme 'discrète' signifie que ses valeurs possibles sont des nombres isolés, finis ou dénombrables (comme des entiers). Pour décrire une VAD, on utilise sa loi de probabilité, qui associe à chaque valeur que la variable peut prendre, la probabilité qu'elle prenne cette valeur. On la représente souvent sous forme de tableau. Deux concepts clés sont l'espérance mathématique E(X), qui représente la 'moyenne' des valeurs que la variable prendrait sur un très grand nombre d'expériences, et la variance V(X), qui mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance. La somme de toutes les probabilités P(X=x_i) doit toujours être égale à 1.

Exemple 1

On lance un dé équilibré à six faces. Soit X la variable aléatoire qui donne le résultat obtenu. Donnez la loi de probabilité de X.

1. Identifier l'ensemble des valeurs possibles que X peut prendre.
2. Calculer la probabilité de chaque valeur.
3. Présenter la loi sous forme de tableau (ou de fonction).

✅ Les valeurs possibles de X sont {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Chaque face ayant une probabilité de 1/6 d'apparaître, la loi de probabilité est : x_i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 P(X=x_i) | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6

Exemple 2

Une urne contient 3 boules vertes (chacune rapporte 5€) et 2 boules rouges (chacune fait perdre 3€). On tire une boule au hasard. Soit G la variable aléatoire du gain. Calculez l'espérance de G.

1. Définir l'ensemble des valeurs possibles de G et leurs probabilités respectives.
2. Appliquer la formule de l'espérance E(G) = Σ (g_i * P(G=g_i)).

✅ Les valeurs possibles de G sont : - G = 5€ si la boule est verte. P(G=5) = 3/5 (3 boules vertes sur 5 au total). - G = -3€ si la boule est rouge. P(G=-3) = 2/5 (2 boules rouges sur 5 au total). L'espérance de gain est : E(G) = (5 * 3/5) + (-3 * 2/5) = 15/5 - 6/5 = 9/5 = 1,8€. L'espérance de gain est de 1,8€ par tirage.

🎯 Testez-vous

Quelle affirmation est toujours vraie concernant la somme des probabilités P(X=x_i) pour toutes les valeurs x_i d'une variable aléatoire discrète X ?

🔥 Exercices d'entraînement

Un jeu consiste à lancer 3 fois une pièce équilibrée. Si face apparaît, on gagne 2 points. Si pile apparaît, on perd 1 point. Soit S la variable aléatoire représentant le score total obtenu. Déterminez la loi de probabilité de S et calculez sa variance. (Indice : Pensez aux combinaisons des lancers pour trouver toutes les issues possibles).

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❓ Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une variable aléatoire discrète et continue ?

Une variable aléatoire discrète (VAD) ne peut prendre qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs (ex: le nombre de faces obtenues en 3 lancers). Une variable aléatoire continue (VAC) peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle réel (ex: la taille d'une personne, le temps d'attente).

À quoi servent concrètement les variables aléatoires discrètes ?

Elles permettent de modéliser des situations incertaines et de prendre des décisions éclairées. Par exemple, elles sont utilisées pour analyser les risques dans les assurances, les résultats de sondages, la fiabilité d'équipements ou les gains potentiels dans un jeu de hasard.