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1ère Spé — Mathématiques

Maîtrisez les Variations et les Extremums de fonctions en 1ère Spé !

Prêt à décortiquer le comportement des fonctions comme un pro ? Comprendre les variations et les extremums, c'est comme lire la "météo" d'une fonction, savoir quand elle monte, descend et atteint ses sommets ou ses creux.

Si f'(x) > 0, f est croissante ; si f'(x) < 0, f est décroissante. Les extremums sont là où f'(x) = 0 et change de signe.

📚 Le cours — Variations et extremums

En 1ère Spé, l'étude des variations d'une fonction est au cœur de l'analyse. L'outil clé pour cela est la dérivée. La dérivée d'une fonction, notée f'(x), nous donne de précieuses informations sur sa pente. Si f'(x) est positive sur un intervalle, cela signifie que la fonction f(x) est croissante sur cet intervalle. Inversement, si f'(x) est négative, la fonction f(x) est décroissante. Les extremums locaux (maximums ou minimums locaux) sont les points où la fonction change de sens de variation. Graphiquement, ce sont les "pics" et les "vallées". Mathématiquement, ces points se produisent lorsque la dérivée f'(x) s'annule et change de signe. Un changement de f'(x) de positif à négatif indique un maximum local, tandis qu'un changement de négatif à positif indique un minimum local. C'est en dressant un tableau de variation que toutes ces informations sont synthétisées, offrant une vue claire du comportement global de la fonction.

Exemple 1
Étudiez les variations et déterminez les extremums de la fonction f(x) = x² - 4x + 3 sur R.
  • Calculer la dérivée f'(x).
  • Étudier le signe de f'(x) pour déterminer les intervalles de croissance et de décroissance.
  • Identifier les points où f'(x) s'annule et change de signe pour trouver les extremums.
  • Dresser le tableau de variation.
✅ 1. f'(x) = 2x - 4. 2. f'(x) = 0 <=> 2x - 4 = 0 <=> x = 2. Si x < 2, f'(x) < 0 (f est décroissante). Si x > 2, f'(x) > 0 (f est croissante). 3. En x = 2, f'(x) s'annule et passe de négatif à positif, il y a donc un minimum local. 4. Le minimum local est f(2) = 2² - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Tableau de variation : x |-inf 2 +inf f'(x) | - | + f(x) | décrois. -1 crois. Conclusion : La fonction f est décroissante sur ]-∞; 2] et croissante sur [2; +∞[. Elle admet un minimum local en x=2, dont la valeur est -1.
Exemple 2
Soit g(x) = -x³ + 3x² - 2. Déterminez ses variations et ses extremums sur R.
  • Dériver g'(x).
  • Résoudre g'(x) = 0 et étudier le signe de g'(x).
  • Construire le tableau de variation et conclure sur les extremums.
✅ 1. g'(x) = -3x² + 6x = -3x(x - 2). 2. g'(x) = 0 <=> -3x(x - 2) = 0 <=> x = 0 ou x = 2. Signe de g'(x) (parabole tournée vers le bas, racines 0 et 2) : Si x < 0, g'(x) < 0 (g est décroissante). Si 0 < x < 2, g'(x) > 0 (g est croissante). Si x > 2, g'(x) < 0 (g est décroissante). 3. En x = 0, g'(x) passe de négatif à positif : minimum local g(0) = -2. En x = 2, g'(x) passe de positif à négatif : maximum local g(2) = -(2)³ + 3(2)² - 2 = -8 + 12 - 2 = 2. Conclusion : La fonction g est décroissante sur ]-∞; 0] et [2; +∞[. Elle est croissante sur [0; 2]. Elle admet un minimum local en x=0 (valeur -2) et un maximum local en x=2 (valeur 2).
🎯 Testez-vous
Pour une fonction f, si sa dérivée f'(x) est positive sur ]-∞; 3[ et négative sur ]3; +∞[, que peut-on dire de f en x = 3 ?

🔥 Exercices d'entraînement

Soit la fonction h(x) = (ax + b)e^(-x) où a et b sont des réels. Déterminez les valeurs de a et b sachant que la fonction h admet un extremum en x=1 et que cet extremum vaut 2e^(-1).

Correction complète disponible...

Exercice de brevet / bac...

Correction étape par étape...

📄 Fiche de révision PDF

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❓ Questions fréquentes

Comment savoir si c'est un maximum ou un minimum ?

Pour déterminer si un extremum est un maximum ou un minimum, il faut observer le changement de signe de la dérivée f'(x). Si f'(x) passe de positif à négatif (la fonction monte puis descend), c'est un maximum. Si f'(x) passe de négatif à positif (la fonction descend puis monte), c'est un minimum.

Est-ce que f'(x) doit toujours être nulle pour un extremum ?

Dans la majorité des cas que vous rencontrerez en 1ère Spé pour les fonctions dérivables, oui, la dérivée f'(x) est nulle aux points où la fonction atteint un extremum local. C'est une condition nécessaire. Cependant, un extremum peut aussi exister aux bornes d'un intervalle de définition, ou en un point où la fonction n'est pas dérivable (par exemple, un "pic" pointu), mais ces cas sont moins fréquents dans les exercices standard de 1ère Spé.

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